Bilangan Bulat

Mengenal Bilangan Bulat

Kita sudah mempelajari bilangan-bilangan yang dimulai dari nol sampai tak terhingga. Selama ini yang kita pelajari 0 (nol) adalah bilangan terkecil. Tetapi, tahukan kamu bahwa ada bilangan yang lebih kecil dari 0.

1. Mengenal Bilangan Bulat Positif dan Negatif

Bilangan-bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, … disebut bilangan cacah, sedangkan 1, 2, 3, 4, 5, … disebut bilangan asli. Jadi, bilangan cacah adalah gabungan dari bilangan nol dan bilangan asli.

Adakah lawan bilangan asli? Bagaimana melambangkannya? Bilangan nol, bilangan asli, dan lawan bilangan asli disebut bilangan bulat. Perhatikan garis bilangan bulat di bawah ini.

2. Membaca dan Menulis Lambang Bilangan BulatSetelah mengenal bilangan bulat positif maupun bilangan bulat negatif, bagaimana cara membaca dan menuliskan bilangan bilangan tersebut? Mari kita pelajari. Bilangan asli atau bilangan bulat positif sudah sudah sangat kita kenal, sedangkan untuk bilangan negatif cara membacanya diawali dengan kata negatif di depan bilangan.

Contoh: 10 dibaca sepuluh –10 dibaca negatif sepuluh negatif sembilan puluh sembilan dituliskan –99 seratus lima dituliskan 105
3. Penggunaan Bilangan Bulat Negatif Mengapa harus ada bilangan negatif? Pernahkah kamu mendengar kalimat-kalimat seperti di bawah ini?

a. Suhu di daerah kutub dapat mencapai lima belas derajat di bawah nol.

b. Daerah itu rawan banjir karena ketinggiannya lima sentimeter di bawah permukaan air laut.

Nah kawan, bagaimana menuliskan bilangan lima belas derajat di bawah nol? Bagaimana pula menuliskan bilangan lima sentimeter di bawah permukaan air laut? Bilangan-bilangan tersebut dapat kita tuliskan dengan menggunakan bilangan bulat negatif. Lima belas di bawah nol dapat dituliskan –15. Lima di bawah permukaan dapat dituliskan –5. Jadi, dua kalimat di atas dapat dituliskan sebagai berikut a. Suhu di daerah kutub dapat mencapai –15 derajat. b. Daerah itu rawan banjir karena ketinggiannya –5 cm.

4. Membandingkan dan Mengurutkan Bilangan Bulat Telah kita pelajari di depan bahwa bilangan negatif lebih kecil dari nol. Mari kita perhatikan garis bilangan berikut ini.

Semakin ke kiri nilai bilangan semakin kecil. Sebaliknya, semakin ke kanan nilai bilangan semakin besar.Sekarang, mari kita lengkapi perbandingan bilangan bulat di bawah ini dengan memberi tanda lebih besar (>) atau lebih kecil (<).

Nah kawan, dengan membandingkan dua bilangan bulat, kamu dapat mengurutkan bilangan-bilangan bulat dari yang terkecil maupun dari yang terbesar. Untuk membantu mengurutkan bilangan-bilangan bulat, dapat kita gunakan garis bilangan .

Contoh: Urutkan bilangan-bilangan berikut ini. –5, 10, –25, 20, –10, 0, 30 Jawab: Masing-masing bilangan tersebut dapat dituliskan pada garis bilangan di bawah ini.

Urutan bilangan dari yang terkecil adalah –25, –10, –5, 0, 10, 20, 30 Urutan bilangan dari yang terbesar adalah 30, 20, 10, 0, –5, –10, –25

B. Penjumlahan Bilangan Bulat

Sebelum mempelajari penjumlahan bilangan bulat lebih lanjut, penjumlahan yang melibatkan bilangan nol dan bilangan bulat positif harus sudah kamu kuasai dengan baik.

1. Penjumlahan Menggunakan Garis Bilangan

Penjumlahan bilangan dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan dengan membuat diagram panah yang menyertakan bilangan.

a. Mengenal Bilangan Bulat dengan Diagram Panah

Sebuah bilangan bulat dapat ditunjukkan dengan diagram panah pada garis bilangan yang mempunyai panjang dan arah. Panjang diagram panah menunjukkan banyaknya satuan, sedangkan arahnya menunjukkan positif atau negatif.

Jika diagram panah menuju ke arah kanan, maka anak panah tersebut menunjukkan bilangan bulat positif. Jika diagram panah menuju ke kiri, maka anak panah tersebut menunjukkan bilangan bulat negatif. Menunjukkan bilangan 7

b. Menjumlah Bilangan Bulat dengan Diagram Panah

Penjumlahan bilangan bulat dengan diagram panah dimulai dari bilangan nol. Mari kita perhatikan contoh berikut ini.

Contoh: Tentukan hasil penjumlahan dari: a. 3 + (–4) b. (–6) + 8 c. (–2) + (–5)

Jawab: a. 3 + (–4)

Diagram panah dari 0 ke 3 menunjukkan bilangan 3 Diagram panah dari 3 ke –1 menunjukkan bilangan –4 Hasilnya ditunjukkan diagram panah dari 0 ke –1 Jadi, 3 + (–4) = –1

b. (–6) + 8

Jadi, (–6) + 8 = 2

2. Penjumlahan Tanpa Menggunakan Garis Bilangan

Untuk bilangan-bilangan antara –20 sampai 20 masih mungkin dilakukan penjumlahan dengan garis bilangan. Untuk menjumlahkan bilangan-bilanagn yang lebih besar, mungkinkah dilakukan dengan garis bilangan? Jika begitu, bagaimanakah cara menjumlahkannya? Mari kita perhatikan contoh penjumlahan berikut ini.

Contoh: Tentukan hasil penjumlahan berikut: a. 56 + (–18) b. (–206) + 106

Jawab: a. 56 + (–18) = 56 – 18 = 38

b. (–206) + 106 = 106 + (–206) = 106 – 206 = 106 – 106 – 100 = –100

Ternyata penjumlahan dengan bilangan negatif dapat dilakukan dengan pengurangan dari lawan bilangan negatif tersebut.

C. Pengurangan Bilangan Bulat

Setelah dapat melakukan penjumlahan bilangan bulat, marilah kita belajar pengurangan bilangan bulat. Sebelumnya, mari kita pahami dulu bilangan bulat yang saling berlawanan.

1. Lawan Bilangan Bulat Di awal bab ini, kita telah mempelajari bahwa bilangan asli atau bilangan bulat positif saling berlawanan dengan bilangan bulat negatif. Mari kita pelajari lebih lanjut.

a. Bilangan bulat yang terletak 2 satuan di kanan 0 adalah . . . . Bilangan bulat yang terletak 2 satuan di kiri 0 adalah . . . .

b. Bilangan bulat yang terletak 6 satuan di kanan 0 adalah . . . . Bilangan bulat yang terletak 6 satuan di kiri 0 adalah . . . .

c. Bilangan –8 terletak . . . . satuan di sebelah . . . . titik 0 Bilangan 8 terletak . . . . satuan di sebelah . . . . titik 0

d. Bilangan –10 terletak . . . . satuan di sebelah . . . . titik 0 Bilangan 10 terletak . . . . satuan di sebelah . . . . titik 0 Dari jawaban-jawaban yang kamu isikan di atas, dapat kita simpulkan bahwa bilangan bulat positif dapat diatur berpasangan dengan bilangan bulat negatif seperti ditunjukkan diagram panah pada gambar garis bilangan berikut ini.

Secara lengkap dapat kita simpulkan sebagai berikut: Bilangan-bilangan bulat di sebelah kiri titik nol saling berlawanan dengan bilangan di sebelah kanan titik nol yang berjarak sama.

Contoh: Tentukan lawan dari bilangan bulat berikut: a. 7 b. –15

Jawab: a.

Jadi, lawan dari 7 adalah –7

b. Dengan cara yang sama, lawan dari –15 adalah 15

2. Mengurangkan Bilangan Bulat

Pengurangan adalah lawan dari penjumlahan. Bagaimana cara mengurangkan bilangan bulat. Mari perhatikan contoh berikut ini.

Contoh: Tentukan hasil pengurangan berikut: a. 2 – 5 c. (–2) – 5 b. 2 – (–5) d. (–2) – (–5) Jawab: a. 2 – 5

Jadi, 2 – 5 = –3

b. 2 – (–5)

Jadi, 2 – (–5) = 7

c. (–2) – 5

Jadi, (–2) – 5 = –7

d. –2 – (–5)

Jadi, (–2) – (–5) = 3

Selanjutnya, mari kita bandingkan hasil-hasil pengurangan di atas dengan penjumlahan di bawah ini. a. 2 + (–5) = –3 c. (–2) + (–5) = –7 b. 2 + 5 = 7 d. (–2) + 5 = 3

Nah kawan, perhatikan dan bandingkan dengan cermat. Apa yang dapat kamu simpulkan?

Pengurangan bilangan bulat adalah penjumlahan dengan lawan bilangannya a – b = a + (–b) a – (–b) = a + b

Contoh: Tentukan hasil pengurangan bilangan bulat berikut: a. (–45) – (–5) c. 125 – 25 b. 99 – (–11) d. (–150) – 50

Jawab: a. (–45) – (–5) = (–45) + 5 = –40 b. 99 – (–11) = 99 + 11 = 110 c. 125 – 25 = 100 d. (–150) – 50 = (–150) + (–50) = –200

D. Operasi Hitung Campuran

Nah kawan, berikutnya yang akan kita pelajari adalah operasi hitung campuran antara penjumlahan dan pengurangan. Mari kita perhatikan contoh berikut ini.

Contoh: Tentukan hasil operasi hitung berikut ini. a. (–4) + 12 – 3 b. 6 – (–4) + 15

Jawab: a. (–4) + 12 – 3

Jadi, (–4) + 12 – 3 = 5

b. 6 – (–4) + (–15)

Jadi, 6 – (–4) + (–15) = –5

Selain dengan garis bilangan, operasi hitung campuran dapat dikerjakan secara langsung seperti contoh berikut ini.

Contoh: Tentukan hasil operasi hitung berikut ini. a. 42 + (–35) – 12 b. (–50) – (–25) + 45

Jawab: a. 42 + (–35) – 12 = 42 – 35 – 12 = 7 – 12 = –5 b. (–50) – (–25) + 45 = (–50) + 25 + 45 = (–25) + 45 = 20

Beri Penilaian

Lambang Bilangan Bulat

Lambang bilangan bulat bentuk panjangnya merupakan hasil penjumlahan dari perkalian bilangan dengan pemangkatan bilangan 10.
Contoh:
2.345  = 2.000 + 300 + 40 + 5
          = 2x103 + 3 x102 + 4 x101 + 5 x 100
2.345  = 2 ribuan + 3 ratusan + 4 puluhan + 5 satuan

Menentukan Nilai Tempat Bilangan

Contoh:
1) 53.451
    Dibaca lima puluh tiga ribu empat ratus lima puluh satu.
2) 212.583
    Dibaca dua ratus dua belas ribu lima ratus delapan puluh tiga
3) 2.523.459
    Dibaca dua juta lima ratus dua puluh tiga ribu empat ratus lima puluh sembilan

Himpunan Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari:
a Bilangan bulat positif (bilangan asli)
b Bilangan nol
c. Bilangan bulat negatif (lawan bilangan asli)

Sifat Perkalian dari Urutan Bilangan Bulat

a. Jika a > b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c > b x c
jika a < b, dan c bilangan bulat positif, maka a x c < b x c
Contoh
1) 6 > 2 dan 6 bilangan bulat positif, maka 6x6 > 2x6
2) 5 < 7 dan 3 bilangan bulat positif, maka 5x3 < 7x3

b. Jika a > b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc < bxc
Jika a < b, dan c bilangan bulat negatif, maka axc > bxc
Contoh
1) -2 >-6 dan -3 (bilangan bulat negatif), maka -2 x (-3) < -6 x (-3)
2) -3 < 2 dan -5 (bilangan bulat negatif), maka -3 x (-5) > 2x(-5)

c. Jika a > b atau a < b, dan c adalah bilangan nol, maka axc = bxc = 0
Contoh
1) 4 > -2, maka 4 x 0 = -2 x 0 = 0
2) 3 < 5, maka 3 x 0 = 5 x 0 = 0

Lawan bilangan bulat

a. Setiap bilangan bulat mempunyai tepat satu lawan yang juga merupakan bilangan bulat
b. Dua bilangan bulat dikatakan berlawanan, apabila dijumlahkan menghasilkan nilai nol.
a + (-a) = 0
Contoh
1) Lawan dari 4 adalah -4, sebab 4 + (-4) = 0
2) Lawan dari -7 adalah 7, sebab -7 + 7 = 0
3) Lawan dari 0 adalah 0, sebab 0 + 0 = 0

Operasi bilangan bulat
Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat

Image:Mat_3.png

d. Menjumlahkan bilangan bulat negatif dengan bilangan positif.
Contoh
-6 + 8 = 2, digambarkan pada garis bilangan.
Perkalian Bilangan Bulat

Perkalian adalah penjumlahan berulang sebanyak bilangan yang dikalikan.
Contoh:
2 x 3 - 3 + 3 = 6

Perhatikan gambar di bawah ini, ya!

Sifat-sifat perkalian suatu bilangan
a. Perkalian bilangan positif dengan bilangan positif, hasilnya positif.
Contoh:
1) 4 x 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
2) 7 x 8 = 56
3) 12 x 15 = 180
b Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif, hasilnya negatif.
Contoh:
1) 4 x (-5) = (-5) + (-5) +(-5) +(-5) = -20
2) 7 x (-8) = -56
3) 12 x (-15) = -180
c. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif, hasilnya negatif.
Contoh:
1) -4 x 5 = -(5 + 5 + 5 + 5) = -20.
2) -7 x 8 = -56
3) -12x 15 = -180
d. Perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif, hasilnya positif.
Contoh:
1) -4 x (-5) = -[-5 + (-5) + (-5) + (-5)] = -[-20] = 20
2) -7 x (-8) = 56
3) -12 x (-15) = 180
Kesimpulan: