Pythagoras dan Segitiga

Televisi sebagai media informasi, memiliki banyak sekali keunggulan dibandingkan dengan media lainnya, baik media cetak maupun media elektronik. Salah satu keunggulannya adalah televisi mampu memvisualisasikan suatu informasi secara langsung. Untuk memenuhi berbagai kebutuhan yang beragam, televisi diproduksi dalam berbagai macam ukuran. Pada umumnya, ukuran televisi dinyatakan dalam satuan inci (1 inci = 2,54 cm), mulai dari 14 inci, 21 inci, 35 inci, sampai 49 inci. Perlu diingat, ukuran televisi yang dinyatakan dalam satuan inci tersebut merupakan panjang diagonal layar televisi. Misalkan kamu memiliki televisi 21 inci. Jika lebar televisi tersebut adalah 16 inci, berapakah tingginya? Kamu dapat dengan mudah menghitung tinggi televisi tersebut jika kamu memahami konsep teorema Pythagoras. Pada bab ini, kamu akan mempelajari teorema Pythagoras beserta pengertian, penggunaan, dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Selain itu, akan diuraikan pula perhitungan garis tinggi dan garis berat pada segitiga sebagai perluasaan dari teorema Pythagoras.

A. Teorema Pythagoras

1. Pengertian Teorema Pythagoras

Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569 – 475 sebelum Masehi. Sebagai ahli metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi - sisi yang lain. Untuk membuktikan hal ini, coba kamu lakukan Kegiatan 5.1.

Kegiatan 5.1

1. Sediakan kertas karton, pensil, penggaris, lem, dan gunting.
2. Buatlah empat buah segitiga yang sama dengan panjang sisi alas a = 3 cm, sisi tegak b = 4 cm, dan sisi miring c = 5 cm. Lalu guntinglah segitiga - segitiga itu.
3. Buatlah sebuah persegi dengan panjang sisi yang sama dengan sisi miring segitiga, yaitu c = 5 cm. Warnailah daerah persegi tersebut, lalu guntinglah.
4. Tempelkan persegi di karton dan atur posisi keempat segitiga sehingga sisi c segitiga berimpit dengan setiap sisi persegi dan terbentuk sebuah persegi besar dengan sisi (a + b). Lihat gambar berikut.

Jika kamu perhatikan dengan cermat akan diperoleh hubungan c² = a² + b², dimana c adalah panjang sisi miring, a adalah panjang alas, dan b adalah tinggi. Dari hubungan tersebut dapat dikatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat sisi - sisi lainya. Inilah yang disebut teorema Pythagoras. Cara lain untuk membuktikan teorema Pythagoras adalah dengan menempatkan persegi di setiap sisi segitiga siku - siku. Coba kamu perhatikan Gambar 5.2 secara saksama.

Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga yang memiliki persegi pada setiap sisinya. Ukuran segitiga tersebut adalah

• Panjang sisi miring = AC = 5 satuan.
• Tinggi = BC = 3 satuan.
• Panjang sisi alas = AB = 4 satuan.

Perhatikan bahwa luas persegi pada sisi miring sama dengan luas persegi pada sisi alas ditambah luas persegi pada tinggi segitiga. Pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.
Luas persegi pada sisi miring = luas persegi pada sisi alas + luas persegi pada tinggi.
2⁵ = 16 + 9
(5)² = (4)² + (3)²
AC² = AB² + BC²
Sekali lagi, uraian ini membenarkan kebenaran teorema Pythagoras . Untuk lebih jelasnya, coba kamu pelajari Contoh Soal 5.1

2. Penulisan Teorema Pythagoras

Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku. Coba perhatikan Gambar 5.3. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga siku-siku ABC dengan panjang sisi miring b, panjang sisi alas c, dan tinggi a. Berdasarkan, teorema Pythagoras, dalam segitiga siku-siku tersebut berlaku:

Sekarang, bagaimana menentukan panjang sisi-sisi yang lain? seperti panjang sisi alas c atau tinggi a? Dengan menggunakan rumus umum teorema Pythagoras, diperoleh perhitungan sebagai berikut.

Dari uraian tersebut, penulisan teorema Pythagoras pada setiap sisi segitiga siku-siku dapat dituliskan sebagai berikut.

3. Penggunaan Teorema Pythagoras

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, teorema Pythagoras banyak sekali digunakan dalam perhitungan bidang matematika yang lain. Misalnya, menghitung panjang sisi-sisi segitiga, menentukan diagonal pada bangun datar, sampai perhitungan diagonal ruang pada suatu bangun ruang. Berikut ini akan diuraikan penggunaan teorema Pythagoras pada segitiga dan bangun datar.

a. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Sisi-Sisi Segitiga.

Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menghitung panjang sisi-sisi segitiga dengan menggunakan teorema Pythagoras. Sekarang coba perhatikan dan pelajari Contoh Soal 5.3

b. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar

Pada kondisi tertentu, teorema Pythagoras digunakan dalam perhitungan bangun datar. Misalnya, menghitung panjang diagonal, menghitung sisi miring trapesium, dan lain sebagainya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh - contoh soal berikut ini.

4. Penerapan Teorema Pythagoras

Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali masalah - masalah yang dapat dipecahkan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk mempermudah perhitungan, alangkah baiknya jika permasalahan tersebut dituangkan dalam bentuk gambar.

Coba kamu perhatikan dan pelajari contoh - contoh soal berikut ini secara saksama.

B. Garis-Garis Pada Segitiga

Di kelas VII, kamu telah mengenal berbagai macam garis pada segitiga. Garis-garis pada segitiga tersebut adalah garis tinggi, garis berat, garis bagi, dan garis sumbu. Masih ingatkah kamu pengertian untuk masing-masing garis tersebut ?
Pada subbab ini, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan dan menghitung panjang garis-garis pada segitiga. Namun, garis-garis pada segitiga yang dibahas pada bab ini dibatasi hanya garis tinggi dan garis berat.

1. Garis Tinggi Pada Segitiga

Sebelum mempelajari perhitungan garis tinggi pada segitiga, kamu harus memahami terlebih dahulu proyeksi titik atau garis pada suatu garis. Proyeksi merupakan dasar perhitungan garis tinggi pada segitiga. Coba kamu pelajari uraian berikut.

a. Proyeksi

Untuk memahami apa yang dimaksud dengan proyeksi, coba kamu perhatikan Gambar 5.7(a). Pada gambar tersebut terlihat titik P diproyeksikan terhadap garis AB. Hasil proyeksi titik P tersebut adalah titik P'. Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 5.7(b) gambar tersebut menunjukan proyeksi titik P terhadap garis AB dengan posisi yang berbeda. Hasil proyeksi titik P tersebut adalah P'.
Dari uraian ini apa yang dapat kamu ketahui? Proyeksi sebuah titik adalah pembentukan bayangan suatu titik terhadap satu bidang, dengan syarat garis hubung titik dan titik hasil proyeksinya harus tegak lurus dengan bidang tersebut.
Bagaimana panjang garis proyeksi tersebut ? Ada dua macam perhitungan yang dapat kamu lakukan. Berdasarkan materi persamaan garis lurus yang telah kamu pelajari, dapat diuraikan sebagai berikut.

b. Menghitung garis tinggi pada segitiga

Masih ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan garis tinggi pada segitiga ? Perhatikan segitiga sebarang PQR pada Gambar 5.10 Garis PU, QT, dan RS adalah garis-garis tinggi segitiga PQR. Jadi, garis tinggi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan tegak lurus terhadap sisi yang ada di hadapan sudut segitiga tersebut.
Sekarang bagaimana cara menghitung garis tinggi pada suatu segitga? Ada rumus umum yang dapat kamu gunakan untuk menghitungnya. Untuk lebih jelasnya coba kamu pelajari uraian berikut secara saksama.

2. Garis Berat pada Segitiga

Sama halnya dengan garis tinggi, garis berat pada segitiga pun telah kamu pelajari di kelas VII. Ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan garis berat? Coba perhatikan Gambar 5.11. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga sebarang ABC. Perhatikan bahwa AE, BF, dan CD merupakan garis berat segitiga ABC.
Jadi, apa yang dapat kamu ketahui tentang garis berat? Garis berat pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan membagi dua dengan sama panjang sisi yang ada di hadapan sudut tersebut. Titik G pada segitiga ABC merupakan titik berat segitiga. Bagaimana cara menghitung panjang garis berat pada suatu segitiga? Coba perhatikan segitiga sebarang ABC pada Gambar 5.12 di samping. Garis EC merupakan garis berat sedangkan garis DC merupakan garis tinggi. Untuk menghitung panjang EC, perhatikan uraian berikut.

Beri Penilaian